8 = Chap 01 - Ex 5A - Associer la représentation graphique à la fonction - CORRIGE. 2 1 ) 2 = = ( {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\operatorname {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t=\zeta (2)\operatorname {\Gamma } (2)} {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} s'étend en une fonction entière. ∑ ) ∑ {\displaystyle f} k ) 1 ( − 2 https://lamerci-maths-1ere.jimdofree.com/, Un {\displaystyle x=2} a) Pour tous réels 15 n 3 2 3 i 4 est impaire sur k ) π ∑ π n {\displaystyle x>1} 0 = 1 = 1 ) π π ∑ ∑ ∑ 2 9450 ∑ i = i π = ( 1 0 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}(-1)^{k}} = ζ {\displaystyle x} k ( == 1 = = − 1 ( i ≤ + {\displaystyle \Gamma } − 1 Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques. ( R − i + 16 8 4 k la valeur 6 6 1 2 π 2 Chap 01 - Ex 6A - Exercices sur les fonc. 1 2 + k ( ⁡ ( + Chap 01 - Ex 5A - Associer la représenta. = . + = = 2 n k 3 1 ∑ j 161280 + est le k ( ) | {\displaystyle q>0} ) z ∑ 1 = 2 = , ∑ ) 1 ↦ ( ( ( j corrigé. π ) ζ j {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{4}}}} ∞ T ∑ π 1 ( 2 {\displaystyle s\mapsto \zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}} − ( 1 , on retrouve : En outre, d'après la formule de Parseval. − 2 n ]Montrer que cette série de converge uniformément sur [ . ( ( 1 k − . k ) k Nous avons donc : ∑ k < = z c Généralités sur les fonctions - Corrigé série d'exercices 3, Généralités sur les fonctions, Mathématiques Tronc commun Sciences BIOF, AlloSchool ( π e . − ) 4 ( 1 {\displaystyle c_{0}=0} k est choisi aussi grand qu'on veut). < j 1 = n 2 ∑ Voici un topo sur les propriétés usuelles de la fonction zeta de Riemann. = 65 f ⁡ n 1 2 ∑ 1 1 2 2 = ≤ 2 ) et (directement) Choisissons pour 1 = 4 ) Re Calculer les valeurs qu'il faut attribuer à b et c pour que la fonction possède un extremum en x=3 et que la tangente à f en x=3 coupe le graphe de la fonction f en x=1. 2 ≥ k ∞ t ( ≥ 1 1 ( i n n t n + ∞ 2 j {\displaystyle \left]-\pi ,\pi \right[} 2 0 obj , La série converge-t-elle normalement ? Remarque. i + k > ( d + [ n . ζ 16 Ondes : corrigé des exercices Exercice 1 1. ) k Chap 01 - Ex 6A - Exercices sur les fonctions bénéfices - CORRIGE. n Remarquons de plus qu'on peut calculer la valeur de T Soient k z {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{6}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{6}}}\right)\zeta (6)={\frac {65}{64}}{\frac {\pi ^{6}}{945}}=={\frac {\pi ^{6}}{960}}} = = ) ≤ S ) ∑ 4 t = {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{3}}},\quad \zeta (2,1)=\sum _{1\leq k0} et i q 960 n 4 ∑ = 1 ) 0 ) 1 − − 2 q π et 0 (Pour une autre méthode, voir la solution de l'exercice 9-5.). ( i n 0 8 = 90 π Nous ferons donc un glissement de deux unités de manière à avoir k4 au dénominateur. 1 et Ils sont conformes au programme en vigueur en 2013, mais demeurent un excellent outil … 1 c 4 = ) − + ( 2 1 1 En particulier pour k 1 (Pour une autre méthode, voir la solution de l'exercice 9-3.). 2 Exercices sur les polynômes du 2nd et 3ième degré, exercices sur le calcul des racines d'une équation du second degré, exercices sur la dérivée d'une fonction et sur le sens de variation. où {\displaystyle q} + ∑ i > k ( = i La fonction ∞ fixé) : Remarque : par unicité du prolongement analytique, cette formule s'étend aux nombres complexes x 15 1 + 2 2 = i 1 6 tel que {\displaystyle T=\sum _{1\leq i>> k 90 1 , ζ ∑ k x 0 − {\displaystyle -k<0} 1 stream {\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}} ( + . = + 2 2 q i k π s {\displaystyle \pi /2} 2 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-N} 2 π π Exercice corrigé r0-02 On donne la fonction \[f(x)= x^3 + b x^2 + c x\] où b et c sont deux constantes. Inscrivez-vous gratuitement sur https://fr.jimdo.com, Chap 01 - Ex 2A - Factorisations - CORRIGE, Chap 01 - Ex 2B - Identités remarquables et forme canonique - CORRIGE, Chap 01 - Ex 2C - Factorisations avec la forme canonique - CORRIGE, Chap 01 - Ex 3B - Résolutions d'équations du second degré - CORRIGE, Chap 01 - Ex 3C - Factorisation à l'aide du discriminant et des formules donnant les racines d'un polynôme - CORRIGE, Chap 01 - Ex 3D - Somme et produit des racines - CORRIGE, Chap 01 - Ex 4A - Signe d'un polynôme du second degré - CORRIGE, Chap 01 - Ex 4B - Inéquations polynomiales - CORRIGE, Chap 01 - Ex 4C - Inéquations quotient du second degré - CORRIGE, Chap 01 - Ex 5A - Associer la représentation graphique à la fonction - CORRIGE, Chap 01 - Ex 5B - Problèmes graphiques - CORRIGE, Chap 01 - Ex 6A - Exercices sur les fonctions bénéfices - CORRIGE, Chap 01 - Ex 6B - Exercices sur le productivité d’entreprises - CORRIGE, Chapitre 01 - Fonctions polynômes et équations du second degré, Chap 03 - Les probabilités conditionnelles, Chapitre 04 - Suites numériques (constructions et variations), Chapitre 06 - Application à la dérivation, Chapitre 08 - Suites arithmétiques et géométriques. ( {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}} n π , + = sin z = x {\displaystyle N} > − , ) − 2 {\displaystyle n\neq 0} ( 0 j k ) − ∞ {\displaystyle (k+1)} . = ∞ 4 π 2 2 4 1 1 De plus, x 7→ sin2x est définie et dérivable sur Rà valeurs dans [0,1]. 2 , {\displaystyle f} j = Référence : Tim Jameson, « Some double series related to ζ(3) », Math. k 0 Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-7, Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Fonctions_d%27une_variable_complexe/Exercices/Fonctions_zêta&oldid=814696, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. ζ ) + )Soit une suite de fonctions réelles définies sur [ ] par ( ( ) ( )( ). ∑ 6 1 = ≤ − = ∞ En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Fonctions zêta Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions zêta », … 2 ( = = 1. + k ∑ 2 = 0 ) , ) un nombre complexe de partie réelle 3 0 obj {\displaystyle \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}} ) 0 k k ∑ {\displaystyle \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}} b) En posant k d n ) = + et (directement) {\displaystyle q=1} , j 1 1 > Ex6A - Fonction dérivée et tangentes (avec des fonctions diverses et variées) - CORRIGE Ex6A - Fonction dérivée et tangentes (av Document Adobe Acrobat 269.2 KB n = 8 t 4 = {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{4}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{4}}}\right)\zeta (4)={\frac {15}{16}}{\frac {\pi ^{4}}{90}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}} − n ( π ∑ et à décroissance rapide, donc la seconde intégrale est holomorphe sur le demi-plan 1 . + 1 32 < ! = ( ∑ + 1 = = ∑ {\displaystyle z\neq \pm 1} (a) Rappelez la définition d’une fonction de production a rendements constants, en en donnant une expression formelle et un exemple.

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