La zone 5 du système de Gauss-Krüger possède une valeur d’abscisse fictive de 500 000 ou de 5 500 000 mètres. Cette approche est particulièrement simple dans le cas d'une surface plongée dans E3. {∞}. peut être interprétée comme la longueur d'un élément de géodésique dans la direction θ, l'équation de Gauss-Jacobi montre que la courbure en un point mesure la façon dont les géodésiques s'écartent quand on s'éloigne de ce point(O'Neill 1997, p. 395). Map Projections: A Working Manual. Le nom Gauss-Krüger se réfère à la forme ellipsoïdale réévaluée par Louis Krüger en 1912. 0 Ce résultat est le célèbre théorème de Gauss-Bonnet : il montre que l'intégrale de la courbure de Gauss est un invariant topologique de la surface. La connexion peut ainsi être décrite par des relèvements des chemins de la variété vers des chemins du fibré tangent ou du fibré des repères, formalisant la théorie classique du « repère mobile (en) »(Darboux 1887). Le disque unité muni de la métrique de Poincaré est la seule surface orientable simplement connexe de courbure constante -1. On peut imaginer des coordonnées de Gauss pour 3, 4 ou plus de dimensions. Quatre modèles de la géométrie hyperbolique à deux dimensions furent ainsi construits : Le premier de ces modèles, basé sur un disque, a pour géodésiques de véritables droites euclidiennes (ou, plus précisément, l'intersection de ces droites avec le disque unité ouvert). Lobatchevski en 1830 et, indépendamment, Bolyai (fils d'un des correspondants de Gauss) en 1832, publièrent des approches synthétiques de cette nouvelle géométrie, qui leur valurent de sévères critiques. La géométrie non euclidienne[21] fit sa première apparition dans des lettres de Gauss au début du XIXe siècle ; il en construisit d'importants développements analytiques qui circulèrent à titre privé seulement. Dans les coordonnées du plan complexe (u, v), la métrique de la sphère devient(Eisenhart 2004, p. 110). ) « Atlas » est d'ailleurs également le nom donné, en. La projection de Gauss-Krüger est une projection cartographique conforme. . Ce résultat de Gauss, le theorema egregium (« théorème remarquable », en latin), montre que la courbure de Gauss d'une surface peut être calculée uniquement à l'aide de la métrique, et est donc un invariant intrinsèque (ne dépendant pas de son plongement dans E³). où H2 = EG – F 2, la courbure de Gauss en un point est donnée par : r désignant la distance géodésique à partir de ce point. Bien que la caractérisation de la courbure ne mette en jeu que la géométrie locale d'une surface, on a vu qu'elle est liée à d'importants aspects globaux tels que le théorème de Gauss-Bonnet ou le théorème d'uniformisation. Here you can convert the most common coordinates into the other formats. La projection sur ce sous-espace est définie par une 1-forme différentielle sur le fibré des repères, la forme de connexion. } Le résultat est une projection conforme sans conservation des directions vraies. Les premières formules avec la correction ellipsoïdale ont été développées par Carl F. Gauss en 1822. Le deuxième utilise une construction complètement analogue à celle de la géométrie sphérique (c'est en fait une géométrie sphérique « imaginaire »). { Un autre champ de vecteurs agit alors comme un opérateur différentiel sur chaque composante. Les paramètres de la projection de Gauss-Krüger sont les suivants : Le système de coordonnées de Gauss-Krüger est une applications spécialisée de la projection de Gauss-Krüger ; il est employé en Eurasie, notamment en Russie et en Chine. Les systèmes de coordonnées de Gauss-Krüger et le système de coordonnées UTM (Universal Transverse Mercator) sont basés sur cette projection tandis que le système de coordonnées State Plane l’utilise pour toutes les zones nord-sud. r Différents pays utilisent cette projection pour leurs cartes topographiques et des système de coordonnées à grande échelle. LA COURBE DE GAUSS : D'OÙ VIENT-ELLE ? { La courbure géodésique en un point est un invariant intrinsèque, ne dépendant que de la métrique au voisinage du point. Ceci permet de coder les propriétés de courbure de la surface à l'aide de formes différentielles, et de formules mettant en jeu leurs dérivées extérieures. La projection de Gauss-Krüger est également connue comme la version ellipsoïdale de la projection de Mercator transverse car elle est similaire à la projection de Mercator, à la différence près que dans la projection de Gauss-Krüger, le cylindre touche la sphère ou l’ellipsoïde le long d’un méridien et non le long de l’Équateur. Il est défini par trois points A, B, C, les côtés BC, CA, AB étant des arcs de grands cercles de longueur inférieure à π. Si les longueurs des côtés sont a, b, c et les angles entre les côtés[N 8] α, β, γ, Leur groupe fondamental peut être identifié à un sous-groupe compact sans torsion Γ de SU(1,1), tel que. {\displaystyle \scriptstyle H(r,\theta )=G(r,\theta )^{\frac {1}{2}}} ( θ Disponible en ligne : ˙ } Ce traité est consultable (mais non numérisé) sur, Voir la section consacrée aux équations de Gauss-Codazzi dans, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores, Annali di Matematica Pura ed Applicata. Sur une sphère ou un hyperboloïde, l'aire d'un triangle dont tous les côtés sont des géodésiques est proportionnelle à la différence entre la somme des angles intérieurs et π. Les autres parallèles sont également représentés sous forme de courbes complexes concaves tournées vers le pôle le plus proche. Les cercles étant préservés par les transformations de Möbius, les géodésiques sont des droites ou des cercles orthogonaux à l'axe des réels. Si les points ne sont pas antipodaux, il y a un arc unique minimisant la distance entre eux. Dans le cas du plan euclidien, le groupe des symétries est le groupe des déplacements, produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des rotations[18]. En effet, se plaçant en coordonnées polaires géodésiques d'origine A, avec AB et AC d'angles polaires 0 et α. où la seconde égalité résulte de l'équation de Gauss-Jacobi et la quatrième de la formule de dérivation de Gauss dans les coordonnées orthogonales (r,θ). Un triangle géodésique de la sphère est appelé un triangle sphérique. Serie Quarta, l'article Connexion de Riemann sur une surface, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Géométrie_différentielle_des_surfaces&oldid=175973856, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Les surfaces de révolution engendrées (avec les notations précédentes) par une courbe. ( Étant donnée une surface fermée orientable M de courbure de Gauss K, la métrique de M peut être changée de façon conforme en la multipliant par un facteur e2u. | https://earth-info.nga.mil/GandG/update/coordsys/resources/NGA.SIG.0012_2.0.0_UTMUPS.pdf [accessible le 23 mai 2019]. Ainsi, une surface fermée de courbure négative ne peut être plongée isométriquement dans E3 ; cependant, comme Adriano Garsia (en) l'a montré en utilisant l'équation de Beltrami pour les applications quasi-conformes, ce plongement est toujours possible pour une métrique conformément équivalente à la métrique initiale[16]. = Hilbert montra que toute surface compacte plongée isométriquement admet au moins un point de courbure positive. C'est un cas particulier du théorème de Hopf-Rinow, lequel s'applique à des variétés de dimension quelconque. Les valeurs de distorsion sont symétriques le long de l’équateur et du méridien central. La théorie classique des opérateurs elliptiques montre que ces solutions existent, car l'intégrale de K sur M est nulle, d'après le théorème de Gauss-Bonnet[23]. Washington, DC: United States Government Printing Office. {\displaystyle \varphi } Ces surfaces ne peuvent être plongées isométriquement dans E3, mais cela est possible dans E4 ; cela vient de ce qu'un tore s'identifie à un produit de deux cercles de E2 (do Carmo 1976). D'après le théorème d'uniformisation de Poincaré, il en résulte que toute variété riemannienne orientable compacte de dimension 2 est conformément équivalente à une surface de courbure constante 0, +1 ou –1 (ce nombre étant le signe de la caractéristique d'Euler de la variété)[17], d'où l'intérêt de l'étude des trois géométries correspondantes[N 7]. L'approche de Cartan et de Weyl, utilisant des 1-formes de connexion sur le fibré des repères de M, est encore une autre voie pour définir les connexions riemanniennes. NSRS Geological Survey Professional Paper 1395. où la seconde égalité résulte de l'équation de Gauss-Jacobi et la quatrième de la formule de dérivation de Gauss dans les coordonnées orthogonales (r,θ). H Pour une courbe générale, une description analogue est possible, utilisant la courbure géodésique(Berger 2003) : Cette approche permet de montrer l'existence du transport parallèle, θ(t) pouvant être calculé comme l'intégrale de la courbure géodésique. , la métrique, en coordonnées normales (u, v), est (au second ordre près)(Berger et Gostiaux 1992). La formule de Gauss montre que la courbure en un point peut être calculée comme la limite du quotient de l’excès angulaire α + β + γ − π par l’aire pour des triangles géodésiques de plus en plus petits entourant le point. The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS). Les connexions sur une surface peuvent être définies par plusieurs méthodes équivalentes. The height data are based on the SRTM values. Les géodésiques sont les droites, et la géométrie se ramène aux formules élémentaires de trigonométrie (elles-mêmes liées à l'existence d'un produit scalaire), telles que la formule d'Al Kashi pour un triangle de côtés a, b, c et d'angles α, β, γ : Les surfaces compactes de courbure nulle sont les tores, obtenus en prenant le quotient de R2 par un réseau, c'est-à-dire un sous-groupe de rang 2. θ Pour des surfaces compactes de courbure négative, von Mangoldt (1881) et Hadamard (1898) ont démontré que l'application exponentielle en un point est un revêtement, et donc que le revêtement universel de la variété est E². θ En particulier, d(0,r) = 2 artanh r, et c(t) = tanh t/2 est la géodésique correspondant à l'axe des réels, paramétrée par la longueur d'arc. Cela correspond également à la forme que prendrait un ruban élastique tendu sur la surface entre ces deux points. < J'essaie actuellement de convertir les coordonnées qui viennent dans un fichier csv dans Lon/Lat à Gauss Krüger (Zone 4) en utilisant R. Mon script fonctionne parfaitement bien, sauf que le shapefile qui en résulte avec les points convertis sont un peu hors où ils devraient être (allant de ~ 18 à 40m). La version sphérique de la projection a été présentée par Johann H. Lambert en 1772. https://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tm8358.2/TM8358_2.pdf [accessible le 10 octobre 2018]. Le groupe SO(3) agit transitivement sur S2. {\displaystyle \rightarrow } La forme la plus simple des inégalités de comparaison, d'abord démontrée pour les surfaces de courbure négative par Alexandrov vers 1940, affirme que : Cette inégalité résulte de ce que si c(t) décrit une géodésique paramétrée par la longueur d'arc, et a est un point fixé, alors, En coordonnées polaires géodésiques d'origine a, avec ||c(t)|| = r(t), la convexité est équivalente à, En coordonnées normales u, v à c(t), cette inégalité devient. De nombreux pays l’utilisent pour leurs cartes topographiques et leurs systèmes de coordonnées à grande échelle. Identifiant S2 avec l'espace homogène SO(3)/SO(2), cette forme est une composante de la forme de Maurer-Cartan sur SO(3)(Ivey et Landsberg 2003). Enfin, dans le cas de la 2-sphère, K’ = 1 et l'équation devient : Cette équation non linéaire n'a pas encore été analysée directement, mais des résultats classiques tels que le théorème de Riemann-Roch permettent de montrer qu'elle admet toujours des solutions. Un triangle hyperbolique est un triangle géodésique pour cette métrique. Les systèmes de coordonnées de Gauss-Krüger, Universal Transverse Mercator (UTM) et State Plane utilisent tous cette projection cartographique. Les zones de Gauss-Krüger de trois degrés existent également. Gauss montra que, si Δ est un triangle géodésique d'angles α, β et γ aux sommets A, B et C (c'est-à-dire que, par exemple, AB et AC sont des géodésiques dont les vecteurs tangents en A forment un angle de α), alors. vérifie l'équation de Liouville(O'Neill 1997, p. 286). i La dernière modification de cette page a été faite le 27 octobre 2020 à 15:47. Les expériences répétées. Dans une région de la surface où K≤0, les triangles géodésiques vérifient les inégalités de la géométrie de comparaison des espaces CAT(0), ou espaces de Hadamard (en), étudiée par Cartan, Alexandrov et Toponogov (en), et envisagée par la suite d'un point de vue différent par Bruhat et Tits ; grâce aux travaux de Gromov, cette caractérisation de la courbure négative en termes de la distance géodésique a eu un profond impact sur la géométrie moderne, et en particulier sur la théorie géométrique des groupes. y These values refer to a base area of 90m², so in steep terrain there can be larger deviations of up to 30 metres. Elle ne conserve généralement pas les vraies directions, mais les angles et les formes sont conservés à une échelle infinitésimale. Une courbe parcourue à vitesse constante sur une surface est une géodésique si et seulement si sa courbure géodésique s'annule en tout point. → Chow a démontré que K’ devient positif en un temps fini ; des résultats antérieurs de Hamilton permettent alors de montrer que K’ converge vers +1[26]. 1.1 Rappels : coordonnées sphériques et coordonnées cylindriques Les figures ci-dessous rappellent les définitions des systèmes de coordonnées … The Universal Grids and the Transverse Mercator and Polar Stereographic Map Projections. Si de plus la surface est de courbure partout strictement négative, la géodésique joignant deux points quelconques est unique. Les autres méridiens sont projetés sous forme de courbes complexes concaves tournées vers le méridien central. 2 G Le méridien central de la zone 1 se situe à 3° est. S CH. Ils remarquèrent que le transport parallèle impose que le relèvement d'un chemin sur la surface soit un chemin dans le fibré des repères tel que ses vecteurs tangents appartiennent à un sous-espace bien précis de codimension 1 dans l'espace tangent tridimensionnel du fibré. Levi-Civita(Levi-Civita 1917). Click here to display the time zone to the coordinates. Il est non orientable et s'identifie également au quotient de S2 par la multiplication par –1. Ainsi, pour montrer qu'une surface donnée est conformément équivalente à une métrique de courbure constante K’, il suffit de résoudre la Snyder, J. P. (1987). Nous nous limiterons au cas des matrices d’ordre 2 2 et 3 3, bien que les r esultats enonc es sont vrais dans un cadre plus g en eral. La notion de transport parallèle d'un vecteur le long d'une courbe fut introduite ensuite par Les surfaces simplement connexes de courbure constante 0, +1 et –1 sont le plan euclidien, la sphère unité E3 et le plan hyperbolique. variante suivante de l'équation de Liouville : Quand M est de caractéristique d'Euler nulle, et donc difféomorphe à un tore, K’ = 0, et cela revient à résoudre. If the degree of latitude is given in S as south, the number should be preceded by a minus sign. ( Cependant, il fallut attendre 1868 pour que Beltrami, suivi par Klein en 1871 et Poincaré en 1882, donnent des modèles analytiques concrets de ce que Klein baptisa la géométrie hyperbolique. Un autre résultat important pouvant être démontré à l'aide de la formule de Gauss-Bonnet est le théorème de Poincaré-Hopf concernant les champs de vecteurs sur M s'annulant en un nombre fini de points : il affirme que la somme des indices[N 6] en ces points est égal à la caractéristique d'Euler de M(Eisenhart 2004). En mathématiques, une intégrale de Gauss est l'intégrale d'une fonction gaussienne sur l'ensemble des réels.Sa valeur est reliée à la constante π par la formule ∫ − ∞ + ∞ − =, où α est un paramètre réel strictement positif. Le disque unité et le demi-plan supérieur Au-delà, les données de la projection risquent de dévier. Comme Ricci et Levi-Civita s'en rendirent compte, cette procédure ne dépend que de la métrique, et peut s'exprimer localement à l'aide des symboles de Christoffel. ( Cela résulte de l'inégalité Hr ≥ H, conséquence de ce que la dérivée du wronskien de H et r (venant de la théorie de Sturm-Liouville) est non positive[27]. : La courbure de Gauss peut être obtenue par des relèvements de lacets de plus en plus petits, ou, de façon équivalente, calculée directement de manière « infinitésimale » grâce aux crochets de Lie des relèvements des champs de vecteurs. > . Plus généralement, toute surface M de courbure constante admettra l'une de ces trois surfaces comme revêtement universel. Cette projection est mieux adaptée aux régions orientées du nord au sud. La version du 21 avril 2011 de cet article a été reconnue comme «, Connexion riemannienne et transport parallèle, Géométrie différentielle globale des surfaces, « Une surface est minimale si et seulement si sa courbure moyenne en tout point est nulle. Lorsque M est de caractéristique d'Euler négative, K’ = -1, et l'équation devient : Utilisant la continuité de l'application exponentielle sur les espaces de Sobolev, un résultat dû à Neil Trudinger, on montre que cette équation non linéaire possède toujours des solutions[24]. Le relèvement de lacets autour d'un point donne naissance au groupe d'holonomie en ce point. Ce centrage réduit au maximum la distorsion de toutes les propriétés de la région. Les autres surfaces orientables M de courbure constante -1 admettent D comme revêtement universel. Il convient, pour des ellipsoïdes et des sphéroïdes, de ne pas dépasser de 10 à 12° chaque côté du méridien central. Un champ de vecteurs sur la surface peut être considéré comme une fonction allant de la surface vers R3. Le groupe d'isométries de la sphère unité de E'3, S2, est le groupe orthogonal O(3), produit semi-direct du groupe des rotations SO(3) avec l'application antipodale envoyant x vers –x[19]. Le champ résultant n'est pas tangent à la surface, mais il suffit de le projeter en chaque point sur le plan tangent correspondant. Le Gauss-Kruger système de coordonnées a été développé comme un système de coordonnées cartésiennes de Carl Friedrich Gauss et Johann Heinrich Louis Kruger. ∂ où (u,v) correspond au vecteur unitaire z La formule de Gauss montre que la courbure en un point peut être calculée comme la limite du quotient de l’ excès angulaire α + … y Un changement de coordonnées passant des coordonnées normales en p à celles en un point voisin q amène à une équation de Sturm-Liouville vérifiée par La jacobienne de l'application exponentielle ne s’annule jamais pour des surfaces de courbure négative, puisque, Les géodésiques « s'étendent à l'infini », c'est-à-dire que. La projection de Gauss–Krüger est une projection cylindrique transverse. Le long de géodésiques, cela revient à dire que le transport parallèle d'un vecteur d'un plan tangent est l'unique champ de vecteurs le contenant, formé de vecteurs de norme constante, et faisant un angle constant avec le vecteur tangent à la géodésique. Systèmes de coordonnées de Gauss-Krüger, https://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tm8358.2/TM8358_2.pdf, https://earth-info.nga.mil/GandG/update/coordsys/resources/NGA.SIG.0012_2.0.0_UTMUPS.pdf. Les expériences répétées Les deux pôles sont projetés sous forme de points. L’Équateur et le méridien central sont projetés sous forme de lignes droites. D est donnée par, agit transitivement sur D par les transformations de Möbius, et le stabilisateur de 0 est le groupe des rotations, Le groupe quotient SU(1,1)/±I est le groupe des isométries de D préservant l'orientation. Cependant, il en existe une démonstration élémentaire dans le cas des surfaces minimales(Osserman 2002, p. 31-32). {\displaystyle \cup } Si de plus la surface est plongée isométriquement dans E3, l'application de Gauss est un difféomorphisme explicite. ∪ En fait, le flot de Ricci sur les métriques conformes de S2 est défini pour des fonctions u(x, t) par. ) NSRS Geological Survey Professional Paper 1453. The Universal Grids and the Transverse Mercator and Polar Stereographic Map Projections. Example: North 47.018711° | East 12.34256° Input: The input of the latitude is a decimal number between -89.999999 and 89.999999. Sur une sphère, cette limitation ne s'applique pas. Les sous-groupes finis de SO(3), correspondant aux sous-groupes finis de O(2) et aux groupes de symétries des solides platoniciens, n'agissent pas librement sur S2 ; les quotients correspondants ne sont donc pas des variétés, mais seulement des orbifolds. le disque unité dans le plan complexe, muni de la métrique de Poincaré, En coordonnées polaires (r, θ), la métrique est donnée par, La longueur d'une courbe γ:[a,b]

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